数学符号表

数学符号表本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例。

本文参考了 GB/T 3102.11-1993、ISO 80000-2:2019 和《具体数学》的符号表修订，故基本与国内通行教材的符号体系和 OI 场景的惯用符号体系兼容。

符号的 LaTeX 写法请参考 本文章的源代码

数理逻辑编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n1.1𝑝 ∧𝑞p∧q𝑝p 和 𝑞q 的合取𝑝p 与 𝑞q.n1.2𝑝 ∨𝑞p∨q𝑝p 和 𝑞q 的析取𝑝p 或 𝑞q;此处的 "或" 是包含的，即若 𝑝p，𝑞q 中有一个为真陈述，则 𝑝 ∨𝑞p∨q 为真。n1.3¬𝑝¬p𝑝p 的否定非 𝑝p.n1.4𝑝 ⟹ 𝑞p⟹q𝑝p 蕴含 𝑞q;若 𝑝p 为真，则 𝑞q 为真𝑞 ⟸ 𝑝q⟸p 和 𝑝 ⟹ 𝑞p⟹q 同义。n1.5𝑝 ⟺ 𝑞p⟺q𝑝p 等价于 𝑞q(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧(𝑞 ⟹ 𝑝)(p⟹q)∧(q⟹p) 和 𝑝 ⟺ 𝑞p⟺q 同义。n1.6(∀ 𝑥 ∈𝐴) 𝑝(𝑥)(∀ x∈A) p(x)对 𝐴A 中所有的 𝑥x, 命题 𝑝(𝑥)p(x) 均为真如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴A, 可以使用记号 (∀ 𝑥) 𝑝(𝑥)(∀ x) p(x).∀∀ 称为全称量词。𝑥 ∈𝐴x∈A 的含义见 n2.1.n1.7(∃ 𝑥 ∈𝐴) 𝑝(𝑥)(∃ x∈A) p(x)存在一个属于 𝐴A 的 𝑥x 使得 𝑝(𝑥)p(x) 为真如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴A, 可以使用记号 (∃ 𝑥) 𝑝(𝑥)(∃ x) p(x).∃∃ 称为存在量词。𝑥 ∈𝐴x∈A 的含义见 n2.1.(∃! 𝑥) 𝑝(𝑥)(∃! x) p(x)（唯一量词）用来表示恰有一个 𝑥x 使得 𝑝(𝑥)p(x) 为真。∃!∃! 也可以写作 ∃1∃1.集合论编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n2.1𝑥 ∈𝐴x∈A𝑥x 属于 𝐴A，𝑥x 是集合 𝐴A 中的元素𝐴 ∋𝑥A∋x 和 𝑥 ∈𝐴x∈A 同义。n2.2𝑦 ∉𝐴y∉A𝑦y 不属于 𝐴A，𝑦y 不是集合 𝐴A 中的元素n2.3{𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛}{x1,x2,…,xn}含元素 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛x1,x2,…,xn 的集合也可写作 {𝑥𝑖 | 𝑖 ∈𝐼}{xi | i∈I}, 其中 𝐼I 表示指标集。n2.4{𝑥 ∈𝐴 | 𝑝(𝑥)}{x∈A | p(x)}𝐴A 中使命题 𝑝(𝑥)p(x) 为真的所有元素组成的集合例如 {𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 ≥5}{x∈R | x≥5};如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴A，可以使用符号 {𝑥 | 𝑝(𝑥)}{x | p(x)}（如在只考虑实数集时可使用 {𝑥 | 𝑥 ≥5}{x | x≥5}）|| 也可以使用冒号替代，如 {𝑥 ∈𝐴 :𝑝(𝑥)}{x∈A:p(x)}.n2.5card⁡𝐴card⁡A;|𝐴||A|;#𝐴#A𝐴A 中的元素个数，𝐴A 的基数n2.6∅∅空集不应使用 ∅∅.n2.7𝐵 ⊆𝐴B⊆A𝐵B 包含于 𝐴A 中，𝐵B 是 𝐴A 的子集𝐵B 的每个元素都属于 𝐴A.⊂⊂ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明。𝐴 ⊇𝐵A⊇B 和 𝐵 ⊆𝐴B⊆A 同义。n2.8𝐵 ⊂𝐴B⊂A𝐵B 真包含于 𝐴A 中，𝐵B 是 𝐴A 的真子集𝐵B 的每个元素都属于 𝐴A, 且 𝐴A 中至少有一个元素不属于 𝐵B.若 ⊂⊂ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 ⊊⊊.𝐴 ⊃𝐵A⊃B 与 𝐵 ⊂𝐴B⊂A 同义。n2.9𝐴 ∪𝐵A∪B𝐴A 和 𝐵B 的并集𝐴 ∪𝐵 :={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∨𝑥 ∈𝐵}A∪B:={x | x∈A∨x∈B};:=:= 的定义参见 n4.3n2.10𝐴 ∩𝐵A∩B𝐴A 和 𝐵B 的交集𝐴 ∩𝐵 :={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑥 ∈𝐵}A∩B:={x | x∈A∧x∈B};:=:= 的定义参见 n4.3n2.11𝑛⋃𝑖=1𝐴𝑖⋃i=1nAi集合 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛A1,A2,…,An 的并集𝑛⋃𝑖=1𝐴𝑖 =𝐴1 ∪𝐴2 ∪⋯ ∪𝐴𝑛⋃i=1nAi=A1∪A2∪⋯∪An;也可使用 ⋃𝑛𝑖=1⋃i=1n，⋃𝑖∈𝐼⋃i∈I，⋃𝑖∈𝐼⋃i∈I, 其中 𝐼I 表示指标集；进一步，令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖i 相关的命题，可使用 ⋃𝑃(𝑖)𝐴𝑖⋃P(i)Ai 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖i 对应的 𝐴𝑖Ai 之并集n2.12𝑛⋂𝑖=1𝐴𝑖⋂i=1nAi集合 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛A1,A2,…,An 的交集𝑛⋂𝑖=1𝐴𝑖 =𝐴1 ∩𝐴2 ∩⋯ ∩𝐴𝑛⋂i=1nAi=A1∩A2∩⋯∩An;也可使用 ⋂𝑛𝑖=1⋂i=1n，⋂𝑖∈𝐼⋂i∈I，⋂𝑖∈𝐼⋂i∈I, 其中 𝐼I 表示指标集；进一步，令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖i 相关的命题，可使用 ⋂𝑃(𝑖)𝐴𝑖⋂P(i)Ai 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖i 对应的 𝐴𝑖Ai 之交集n2.13𝐴 ∖𝐵A∖B𝐴A 和 𝐵B 的差集𝐴 ∖𝐵 ={𝑥 | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑥 ∉𝐵}A∖B={x | x∈A∧x∉B};不应使用 𝐴 −𝐵A−B;当 𝐵B 是 𝐴A 的子集时也可使用 ∁𝐴𝐵∁AB, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴A，则 𝐴A 可以省略。不引起歧义的情况下也可使用 ――𝐵B― 表示集合 𝐵B 的补集。n2.14(𝑎,𝑏)(a,b)有序数对 𝑎a，𝑏b;有序偶 𝑎a，𝑏b(𝑎,𝑏) =(𝑐,𝑑)(a,b)=(c,d) 当且仅当 𝑎 =𝑐a=c 且 𝑏 =𝑑b=d.n2.15(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)(a1,a2,…,an)有序 𝑛n 元组参见 n2.14.n2.16𝐴 ×𝐵A×B集合 𝐴A 和 𝐵B 的笛卡尔积𝐴 ×𝐵 ={(𝑥,𝑦) | 𝑥 ∈𝐴 ∧𝑦 ∈𝐵}A×B={(x,y) | x∈A∧y∈B}.n2.17𝑛∏𝑖=1𝐴𝑖∏i=1nAi集合 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛A1,A2,…,An 的笛卡尔积𝑛∏𝑖=1𝐴𝑖 ={(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) | 𝑥1 ∈𝐴1,𝑥2 ∈𝐴2,…,𝑥𝑛 ∈𝐴𝑛}∏i=1nAi={(x1,x2,…,xn) | x1∈A1,x2∈A2,…,xn∈An};𝐴 ×𝐴 ×⋯ ×𝐴A×A×⋯×A 记为 𝐴𝑛An, 其中 𝑛n 是乘积中的因子数；该符号的另一种用法参见 n6.8n2.18id𝐴idA𝐴 ×𝐴A×A 的对角集id𝐴 ={(𝑥,𝑥) | 𝑥 ∈𝐴}idA={(x,x) | x∈A};如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 𝐴A, 则 𝐴A 可以省略。n2.19𝟏𝐴1A指示函数𝟏𝐴(𝑎) =[𝑎 ∈𝐴]1A(a)=[a∈A]，[ ⋅][⋅] 的定义参见 n6.24。n2.20P(𝐴)P(A);2𝐴2A幂集P(𝐴) ={𝑆 :𝑆 ⊆𝐴}P(A)={S:S⊆A}标准数集和区间编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n3.1𝐍N自然数集𝐍 ={0,1,2,3,…}N={0,1,2,3,…};𝐍∗ =𝐍+ ={1,2,3,…}N∗=N+={1,2,3,…};可用如下方式添加其他限制：𝐍>5 ={𝑛 ∈𝐍 | 𝑛 >5}N>5={n∈N | n>5};也可使用 ℕN.n3.2𝐙Z整数集𝐙∗ =𝐙+ ={𝑛 ∈𝐙 | 𝑛 ≠0}Z∗=Z+={n∈Z | n≠0};可用如下方式添加其他限制：𝐙>−3 ={𝑛 ∈𝐙 | 𝑛 > −3}Z>−3={n∈Z | n>−3};也可使用 ℤZ.n3.3𝐐Q有理数集𝐐∗ =𝐐+ ={𝑟 ∈𝐐 | 𝑟 ≠0}Q∗=Q+={r∈Q | r≠0};可用如下方式添加其他限制：𝐐<0 ={𝑟 ∈𝐐 | 𝑟 <0}Q<0={r∈Q | r<0};也可使用 ℚQ.n3.4𝐑R实数集𝐑∗ =𝐑+ ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 ≠0}R∗=R+={x∈R | x≠0};可用如下方式添加其他限制：𝐑>0 ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑥 >0}R>0={x∈R | x>0};也可使用 ℝR.n3.5𝐂C复数集𝐂∗ =𝐂+ ={𝑧 ∈𝐂 | 𝑧 ≠0}C∗=C+={z∈C | z≠0};也可使用 ℂC.n3.6𝐏P（正）素数集𝐏 ={2,3,5,7,11,13,17,…}P={2,3,5,7,11,13,17,…};也可使用 ℙP.n3.7[𝑎,𝑏][a,b]𝑎a 到 𝑏b 的闭区间[𝑎,𝑏] ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏}[a,b]={x∈R | a≤x≤b}.n3.8(𝑎,𝑏](a,b]𝑎a 到 𝑏b 的左开右闭区间(𝑎,𝑏] ={𝑥 ∈𝐑 | 𝑎 <𝑥 ≤𝑏}(a,b]={x∈R | a𝑎b>a𝑏b 大于 𝑎an4.10𝑎 ≤𝑏a≤b𝑎a 小于等于 𝑏bn4.11𝑏 ≥𝑎b≥a𝑏b 大于等于 𝑎an4.12𝑎 ≪𝑏a≪b𝑎a 远小于 𝑏bn4.13𝑏 ≫𝑎b≫a𝑏b 远大于 𝑎an4.14∞∞无穷大该符号 不 是数字。也可以使用 +∞+∞，−∞−∞.n4.15𝑥 →𝑎x→a𝑥x 趋近于 𝑎a一般出现在极限表达式中。𝑎a 也可以为 ∞∞，+∞+∞，−∞−∞.n4.16𝑚 ∣𝑛m∣n𝑚m 整除 𝑛n对整数 𝑚m，𝑛n:(∃ 𝑘 ∈𝐙) 𝑚 ⋅𝑘 =𝑛(∃ k∈Z) m⋅k=n.n4.17𝑚⟂𝑛m⟂n𝑚m 与 𝑛n 互质对整数 𝑚m，𝑛n:(∄ 𝑘 ∈𝐙>1) (𝑘 ∣𝑚) ∧(𝑘 ∣𝑛)(∄ k∈Z>1) (k∣m)∧(k∣n);该符号的另一种用法参见 n5.2n4.18𝑛 ≡𝑘(mod𝑚)n≡k(modm)𝑛n 模 𝑚m 与 𝑘k 同余对整数 𝑛n，𝑘k，𝑚m:𝑚 ∣(𝑛 −𝑘)m∣(n−k);不要与 n4.1 中提到的相混淆。初等几何学编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n5.1∥∥平行n5.2⟂⟂垂直该符号的另一种用法参见 n4.17n5.3∠∠（平面）角n5.4―――ABAB―线段 ABABn5.5⟶ABAB→有向线段 ABABn5.6𝑑(A,B)d(A,B)点 AA 和 BB 之间的距离即 ―――ABAB― 的长度。运算符编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n6.1𝑎 +𝑏a+b𝑎a 加 𝑏bn6.2𝑎 −𝑏a−b𝑎a 减 𝑏bn6.3𝑎 ±𝑏a±b𝑎a 加或减 𝑏bn6.4𝑎 ∓𝑏a∓b𝑎a 减或加 𝑏b−(𝑎 ±𝑏) = −𝑎 ∓𝑏−(a±b)=−a∓b.n6.5𝑎 ⋅𝑏a⋅b;𝑎 ×𝑏a×b;𝑎𝑏ab𝑎a 乘 𝑏b若出现小数点，则应只使用 ××;部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12n6.6𝑎𝑏ab;𝑎/𝑏a/b;𝑎 :𝑏a:b𝑎a 除以 𝑏b𝑎𝑏 =𝑎 ⋅𝑏−1ab=a⋅b−1;可用 :: 表示同一量纲的数值的比率。不应使用 ÷÷.n6.7𝑛∑𝑖=1𝑎𝑖∑i=1nai𝑎1 +𝑎2 +⋯ +𝑎𝑛a1+a2+⋯+an也可使用 ∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖∑i=1nai，∑𝑖𝑎𝑖∑iai，∑𝑖𝑎𝑖∑iai，∑𝑎𝑖∑ai；令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖i 相关的命题，可使用 ∑𝑃(𝑖)𝑎𝑖∑P(i)ai 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖i 对应的 𝑎𝑖ai 之和。n6.8𝑛∏𝑖=1𝑎𝑖∏i=1nai𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅⋯ ⋅𝑎𝑛a1⋅a2⋅⋯⋅an也可使用 ∏𝑛𝑖=1𝑎𝑖∏i=1nai，∏𝑖𝑎𝑖∏iai，∏𝑖𝑎𝑖∏iai，∏𝑎𝑖∏ai；令 𝑃(𝑖)P(i) 为某个与 𝑖i 相关的命题，可使用 ∏𝑃(𝑖)𝑎𝑖∏P(i)ai 表示所有使 𝑃(𝑖)P(i) 为真的 𝑖i 对应的 𝑎𝑖ai 之积；该符号的另一种用法参见 n2.17n6.9𝑎𝑝ap𝑎a 的 𝑝p 次幂n6.10𝑎1/2a1/2;√𝑎a𝑎a 的 1/21/2 次方，𝑎a 的平方根应避免使用 √𝑎a.n6.11𝑎1/𝑛a1/n;𝑛√𝑎an𝑎a 的 1/𝑛1/n 次幂，𝑎a 的 𝑛n 次根应避免使用 𝑛√𝑎na.n6.12¯𝑥x¯;¯𝑥𝑎x¯a𝑥x 的算数均值其他均值有：调和均值 ¯𝑥ℎx¯h;几何均值 ¯𝑥𝑔x¯g;二次均值/均方根 ¯𝑥𝑞x¯q 或 ¯𝑥𝑟𝑚𝑠x¯rms.¯𝑥x¯ 也用于表示复数 𝑥x 的共轭，参见 n11.6.n6.13sgn⁡𝑎sgn⁡a𝑎a 的符号函数对实数 𝑎a:sgn⁡𝑎 =1 (𝑎 >0)sgn⁡a=1(a>0);sgn⁡𝑎 = −1 (𝑎 <0)sgn⁡a=−1(a<0);sgn⁡0 =0sgn⁡0=0;参见 n11.7.n6.14inf𝑀infM𝑀M 的下确界小于等于非空集合 𝑀M 中元素的最大上界。n6.15sup𝑀supM𝑀M 的上确界大于等于非空集合 𝑀M 中元素的最小下界。n6.16|𝑎||a|𝑎a 的绝对值也可使用 abs⁡𝑎abs⁡a.n6.17⌊𝑎⌋⌊a⌋向下取整小于等于实数 𝑎a 的最大整数例如：⌊2.4⌋ =2⌊2.4⌋=2;⌊ −2.4⌋ = −3⌊−2.4⌋=−3.n6.18⌈𝑎⌉⌈a⌉向上取整大于等于实数 𝑎a 的最小整数例如：⌈2.4⌉ =3⌈2.4⌉=3;⌈ −2.4⌉ = −2⌈−2.4⌉=−2.n6.19min(𝑎,𝑏)min(a,b);min{𝑎,𝑏}min{a,b}𝑎a 和 𝑏b 的最小值可推广到有限集中。要表示无限集中的最小值建议使用 infinf, 参见 n6.14n6.20max(𝑎,𝑏)max(a,b);max{𝑎,𝑏}max{a,b}𝑎a 和 𝑏b 的最大值可推广到有限集中。要表示无限集中的最大值建议使用 supsup, 参见 n6.15n6.21𝑛mod𝑚nmodm𝑛n 模 𝑚m 的余数对正整数 𝑛n，𝑚m:(∃ 𝑞 ∈𝐍,𝑟 ∈[0,𝑚)) 𝑛 =𝑞𝑚 +𝑟(∃ q∈N,r∈[0,m)) n=qm+r;其中 𝑟 =𝑛mod𝑚r=nmodm.n6.22gcd(𝑎,𝑏)gcd(a,b);gcd{𝑎,𝑏}gcd{a,b}整数 𝑎a 和 𝑏b 的最大公因数可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 (𝑎,𝑏)(a,b).n6.23lcm⁡(𝑎,𝑏)lcm⁡(a,b);lcm⁡{𝑎,𝑏}lcm⁡{a,b}整数 𝑎a 和 𝑏b 的最小公倍数可推广到有限集中。不引起歧义的情况下可写为 [𝑎,𝑏][a,b];(𝑎,𝑏)[𝑎,𝑏] =|𝑎𝑏|(a,b)[a,b]=|ab|.n6.24[𝑃][P]Iverson 括号若命题 𝑃P 为真，则 [𝑃] =1[P]=1，否则 [𝑃] =0[P]=0。n6.25𝑎 ↑𝑏a↑b；𝑎 ↑𝑛𝑏a↑nbKnuth 箭头对非负整数 𝑎,𝑏,𝑛a,b,n：𝑎 ↑𝑛𝑏 =𝑎 ↑⋯↑⏟𝑛 times 𝑏a↑nb=a ↑⋯↑⏟n times b；𝑎 ↑0𝑏 =𝑎𝑏a↑0b=ab；𝑎 ↑1𝑏 =𝑎 ↑𝑏 =𝑎𝑏a↑1b=a↑b=ab；𝑎 ↑𝑛0 =1 (𝑛 >0)a↑n0=1(n>0)；𝑎 ↑𝑛𝑏 =𝑎 ↑𝑛−1(𝑎 ↑𝑛(𝑏 −1))a↑nb=a↑n−1(a↑n(b−1)).n6.26[𝑥𝑛]𝑓(𝑥)[xn]f(x)多项式/形式幂级数/形式 Laurent 级数 𝑓(𝑥)f(x) 中 𝑥𝑛xn 项的系数若 𝑓(𝑥) =∑𝑖𝑎𝑖𝑥𝑖f(x)=∑iaixi，则 [𝑥𝑛]𝑓(𝑥) =𝑎𝑛[xn]f(x)=an；可推广到多元情况，如若 𝑓(𝑥,𝑦) =∑𝑖,𝑗𝑎𝑖,𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗f(x,y)=∑i,jai,jxiyj，则 [𝑥𝑛𝑦𝑚]𝑓(𝑥,𝑦) =𝑎𝑛,𝑚[xnym]f(x,y)=an,m.组合数学本节中的 𝑛n 和 𝑘k 是自然数，𝑎a 是复数，且 𝑘 ≤𝑛k≤n.

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n7.1𝑛!n!阶乘𝑛! =∏𝑛𝑘=1𝑘 =1 ⋅2 ⋅3 ⋅⋯ ⋅𝑛 (𝑛 >0)n!=∏k=1nk=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n(n>0);0! =10!=1.n7.2𝑎𝑘――ak―;(𝑎)−𝑘(a)−k下降阶乘幂𝑎𝑘―― =𝑎 ⋅(𝑎 −1) ⋅⋯ ⋅(𝑎 −𝑘 +1) (𝑘 >0)ak―=a⋅(a−1)⋅⋯⋅(a−k+1)(k>0);𝑎0―― =1a0―=1;𝑛𝑘―― =𝑛!(𝑛−𝑘)!nk―=n!(n−k)!.n7.3𝑎――𝑘ak―;(𝑎)+𝑘(a)+k上升阶乘幂𝑎――𝑘 =𝑎 ⋅(𝑎 +1) ⋅⋯ ⋅(𝑎 +𝑘 −1) (𝑘 >0)ak―=a⋅(a+1)⋅⋯⋅(a+k−1)(k>0);𝑎――0 =1a0―=1;𝑛――𝑘 =(𝑛+𝑘−1)!(𝑛−1)!nk―=(n+k−1)!(n−1)!.n7.4(𝑛𝑘)(nk)组合数(𝑛𝑘) =𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!(nk)=n!k!(n−k)!.n7.5[𝑛𝑘][nk]第一类 Stirling 数[𝑛+1𝑘] =𝑛[𝑛𝑘] +[𝑛𝑘−1][n+1k]=n[nk]+[nk−1];𝑥――𝑛 =𝑛∑𝑘=0[𝑛𝑘]𝑥𝑘xn―=∑k=0n[nk]xk.n7.6{𝑛𝑘}{nk}第二类 Stirling 数{𝑛𝑘} =1𝑘!𝑘∑𝑖=0( −1)𝑖(𝑘𝑖)(𝑘 −𝑖)𝑛{nk}=1k!∑i=0k(−1)i(ki)(k−i)n;𝑛∑𝑘=0{𝑛𝑘}𝑥𝑘―― =𝑥𝑛∑k=0n{nk}xk―=xn.函数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n8.1𝑓f函数n8.2𝑓(𝑥)f(x)，𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)f(x1,…,xn)函数 𝑓f 在 𝑥x 处的值函数 𝑓f 在 (𝑥1,…,𝑥𝑛)(x1,…,xn) 处的值n8.3dom⁡𝑓dom⁡f𝑓f 的定义域也可使用 D(𝑓)D(f).n8.4ran⁡𝑓ran⁡f𝑓f 的值域也可使用 R(𝑓)R(f).n8.5𝑓 :𝐴 →𝐵f:A→B𝑓f 是 𝐴A 到 𝐵B 的映射dom⁡𝑓 =𝐴dom⁡f=A 且 (∀ 𝑥 ∈dom⁡𝑓) 𝑓(𝑥) ∈𝐵(∀ x∈dom⁡f) f(x)∈B.n8.6𝑥 ↦𝑇(𝑥),𝑥 ∈𝐴x↦T(x),x∈A将所有 𝑥 ∈𝐴x∈A 映射到 𝑇(𝑥)T(x) 的函数𝑇(𝑥)T(x) 仅用于定义，用来表示某个参数为 𝑥 ∈𝐴x∈A 的某个函数值。若这个函数为 𝑓f, 则对所有 𝑥 ∈𝐴x∈A 均有 𝑓(𝑥) =𝑇(𝑥)f(x)=T(x). 因此 𝑇(𝑥)T(x) 通常用来定义函数 𝑓f.例如：𝑥 ↦3𝑥2𝑦,𝑥 ∈[0,2]x↦3x2y,x∈[0,2];这是由 3𝑥2𝑦3x2y 定义的一个关于 𝑥x 的二次函数。若未引入函数符号，则用 3𝑥2𝑦3x2y 表示该函数n8.7𝑓−1f−1𝑓f 的反函数函数 𝑓f 的反函数 𝑓−1f−1 有定义当且仅当 𝑓f 是单射。若 𝑓f 是单射，则 dom⁡(𝑓−1) =ran⁡𝑓dom⁡(f−1)=ran⁡f，ran⁡(𝑓−1) =dom⁡𝑓ran⁡(f−1)=dom⁡f, 且 (∀ 𝑥 ∈dom⁡𝑓) 𝑓−1(𝑓(𝑥)) =𝑥(∀ x∈dom⁡f) f−1(f(x))=x.不要与函数的倒数 𝑓(𝑥)−1f(x)−1 混淆。n8.8𝑔 ∘𝑓g∘f𝑓f 和 𝑔g 的复合函数(𝑔 ∘𝑓)(𝑥) =𝑔(𝑓(𝑥))(g∘f)(x)=g(f(x)).n8.9𝑓 :𝑥 ↦𝑦f:x↦y𝑓(𝑥) =𝑦f(x)=y，𝑓f 将 𝑥x 映射到 𝑦yn8.10𝑓|𝑏𝑎f|ab;𝑓(…,𝑢,…)|𝑢=𝑏𝑢=𝑎f(…,u,…)|u=au=b𝑓(𝑏) −𝑓(𝑎)f(b)−f(a);𝑓(…,𝑏,…) −𝑓(…,𝑎,…)f(…,b,…)−f(…,a,…)主要用于定积分的计算中。n8.11lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)limx→af(x);lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)limx→af(x)当 𝑥x 趋近于 𝑎a 时 𝑓(𝑥)f(x) 的极限lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) =𝑏limx→af(x)=b 可以写成 𝑓(𝑥) →𝑏 (𝑥 →𝑎)f(x)→b(x→a).右极限和左极限的符号分别为 lim𝑥→𝑎+𝑓(𝑥)limx→a+f(x) 和lim𝑥→𝑎−𝑓(𝑥)limx→a−f(x).n8.12𝑓(𝑥) =𝑂(𝑔(𝑥))f(x)=O(g(x))|𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)||f(x)/g(x)| 在上下文隐含的限制中有上界，𝑓(𝑥)f(x) 的阶不高于 𝑔(𝑥)g(x)当 𝑓/𝑔f/g 与 𝑔/𝑓g/f 均有界时称 𝑓f 与 𝑔g 是同阶的。使用符号 "==" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如：sin⁡𝑥 =𝑂(𝑥) (𝑥 →0)sin⁡x=O(x)(x→0).n8.13𝑓(𝑥) =𝑜(𝑔(𝑥))f(x)=o(g(x))在上下文隐含的限制中有 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) →0f(x)/g(x)→0，𝑓(𝑥)f(x) 的阶高于 𝑔(𝑥)g(x)使用符号 "==" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性。例如：cos⁡𝑥 =1 +𝑜(𝑥) (𝑥 →0)cos⁡x=1+o(x)(x→0).n8.14Δ𝑓Δf𝑓f 的有限增量上下文隐含的两函数值的差分。例如：Δ𝑥 =𝑥2 −𝑥1Δx=x2−x1;Δ𝑓(𝑥) =𝑓(𝑥2) −𝑓(𝑥1)Δf(x)=f(x2)−f(x1).n8.15d𝑓d𝑥dfdx;𝑓′f′𝑓f 对 𝑥x 的导（函）数仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 d𝑓(𝑥)d𝑥df(x)dx，𝑓′(𝑥)f′(x).n8.16(d𝑓d𝑥)𝑥=𝑎(dfdx)x=a;𝑓′(𝑎)f′(a)𝑓f 在 𝑎a 处的导（函）数值参见 n8.15n8.17d𝑛𝑓d𝑥𝑛dnfdxn;𝑓(𝑛)f(n)𝑓f 对 𝑥x 的 𝑛n 阶导（函）数仅用于一元函数。可以显式指明自变量，如 d𝑛𝑓(𝑥)d𝑥𝑛dnf(x)dxn，𝑓(𝑛)(𝑥)f(n)(x).可用 𝑓″f″ 和 𝑓‴f‴ 分别表示 𝑓(2)f(2) 和 𝑓(3)f(3).n8.18𝜕𝑓𝜕𝑥∂f∂x;𝑓𝑥fx𝑓f 对 𝑥x 的偏导数仅用于多元函数。可以显式指明自变量，如 𝜕𝑓(𝑥,𝑦,…)𝜕𝑥∂f(x,y,…)∂x，𝑓𝑥(𝑥,𝑦,…)fx(x,y,…).可以扩展到高阶，如 𝑓𝑥𝑥 =𝜕2𝑓𝜕𝑥2 =𝜕𝜕𝑥(𝜕𝑓𝜕𝑥)fxx=∂2f∂x2=∂∂x(∂f∂x);𝑓𝑥𝑦 =𝜕2𝑓𝜕𝑦𝜕𝑥 =𝜕𝜕𝑦(𝜕𝑓𝜕𝑥)fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(∂f∂x).n8.19𝜕(𝑓1,…,𝑓𝑚)𝜕(𝑥1,…,𝑥𝑛)∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn)Jacobi 矩阵参见1n8.20d𝑓df𝑓f 的全微分d𝑓(𝑥,𝑦,…) =𝜕𝑓𝜕𝑥d𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦d𝑦 +…df(x,y,…)=∂f∂xdx+∂f∂ydy+….n8.21𝛿𝑓δf𝑓f 的（无穷小）变分n8.22∫𝑓(𝑥)d𝑥∫f(x)dx𝑓f 的不定积分n8.23𝑏∫𝑎𝑓(𝑥)d𝑥∫abf(x)dx𝑓f 从 𝑎a 到 𝑏b 的定积分也可使用 ∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)d𝑥∫abf(x)dx;定积分还可以定义在更一般的域上。如 ∫𝐶∫C，∫𝑆∫S，∫𝑉∫V，∮∮, 分别表示在曲线 𝐶C, 曲面 𝑆S, 三维区域 𝑉V, 和闭曲线或曲面上的定积分。多重积分可写成 ∬∬，∭∭ 等。n8.24𝑓 ∗𝑔f∗g函数 𝑓f 和 𝑔g 的卷积(𝑓 ∗𝑔)(𝑥) =∞∫−∞𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 −𝑦)d𝑦(f∗g)(x)=∫−∞∞f(y)g(x−y)dy.指数和对数函数𝑥x 可以是复数。

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n9.1ee自然对数的底e =lim𝑛→∞(1+1𝑛)𝑛 =2.718 281 8…e=limn→∞(1+1n)n=2.718 281 8…;不要写成 𝑒e.n9.2𝑎𝑥ax𝑥x 的指数函数（以 𝑎a 为底）参见 n6.9.n9.3e𝑥ex;exp⁡𝑥exp⁡x𝑥x 的指数函数（以 ee 为底）n9.4log𝑎⁡𝑥loga⁡x𝑥x 的以 𝑎a 为底的对数当底数不需要指定的时候可以使用 log⁡𝑥log⁡x.不应用 log⁡𝑥log⁡x 替换 ln⁡𝑥ln⁡x，lg⁡𝑥lg⁡x，lb⁡𝑥lb⁡x 中的任意一个。n9.5ln⁡𝑥ln⁡x𝑥x 的自然对数ln⁡𝑥 =loge⁡𝑥ln⁡x=loge⁡x;参见 n9.4.n9.6lg⁡𝑥lg⁡x𝑥x 的常用对数lg⁡𝑥 =log10⁡𝑥lg⁡x=log10⁡x;参见 n9.4.n9.7lb⁡𝑥lb⁡x𝑥x 的以 22 为底的对数lb⁡𝑥 =log2⁡𝑥lb⁡x=log2⁡x;参见 n9.4.三角函数和双曲函数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n10.1𝜋π圆周率𝜋 =3.141 592 6…π=3.141 592 6….n10.2sin⁡𝑥sin⁡x𝑥x 的正弦sin⁡𝑥 =ei𝑥−e−i𝑥2isin⁡x=eix−e−ix2i;(sin⁡𝑥)𝑛(sin⁡x)n，(cos⁡𝑥)𝑛(cos⁡x)n(𝑛 ≥2n≥2) 等通常写为 sin𝑛⁡𝑥sinn⁡x，cos𝑛⁡𝑥cosn⁡x 等。n10.3cos⁡𝑥cos⁡x𝑥x 的余弦cos⁡𝑥 =sin⁡(𝑥+𝜋/2)cos⁡x=sin⁡(x+π/2).n10.4tan⁡𝑥tan⁡x𝑥x 的正切tan⁡𝑥 =sin⁡𝑥/cos⁡𝑥tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x;不可使用 tg⁡𝑥tg⁡x.n10.5cot⁡𝑥cot⁡x𝑥x 的余切cot⁡𝑥 =1/tan⁡𝑥cot⁡x=1/tan⁡x;不可使用 ctg⁡𝑥ctg⁡x.n10.6sec⁡𝑥sec⁡x𝑥x 的正割sec⁡𝑥 =1/cos⁡𝑥sec⁡x=1/cos⁡x.n10.7csc⁡𝑥csc⁡x𝑥x 的余割csc⁡𝑥 =1/sin⁡𝑥csc⁡x=1/sin⁡x;不可使用 cosec⁡𝑥cosec⁡x.n10.8arcsin⁡𝑥arcsin⁡x𝑥x 的反正弦𝑦 =arcsin⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =sin⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2)y=arcsin⁡x⟺x=sin⁡y(−π/2≤y≤π/2).n10.9arccos⁡𝑥arccos⁡x𝑥x 的反余弦𝑦 =arccos⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =cos⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋)y=arccos⁡x⟺x=cos⁡y(0≤y≤π).n10.10arctan⁡𝑥arctan⁡x𝑥x 反正切𝑦 =arctan⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =tan⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2)y=arctan⁡x⟺x=tan⁡y(−π/2≤y≤π/2);不可使用 arctg⁡𝑥arctg⁡x.n10.11arccot⁡𝑥arccot⁡x𝑥x 反余切𝑦 =arccot⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =cot⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋)y=arccot⁡x⟺x=cot⁡y(0≤y≤π);不可使用 arcctg⁡𝑥arcctg⁡x.n10.12arcsec⁡𝑥arcsec⁡x𝑥x 反正割𝑦 =arcsec⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =sec⁡𝑦 (0 ≤𝑦 ≤𝜋,𝑦 ≠𝜋/2)y=arcsec⁡x⟺x=sec⁡y(0≤y≤π,y≠π/2).n10.13arccsc⁡𝑥arccsc⁡x𝑥x 的反余割𝑦 =arccsc⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =csc⁡𝑦 ( −𝜋/2 ≤𝑦 ≤𝜋/2,𝑦 ≠0)y=arccsc⁡x⟺x=csc⁡y(−π/2≤y≤π/2,y≠0);不可使用 arccosec⁡𝑥arccosec⁡x.n10.14sinh⁡𝑥sinh⁡x𝑥x 的双曲正弦sinh⁡𝑥 =e𝑥−e−𝑥2sinh⁡x=ex−e−x2;不可使用 sh⁡𝑥sh⁡x.n10.15cosh⁡𝑥cosh⁡x𝑥x 的双曲余弦cosh2⁡𝑥 =sinh2⁡𝑥 +1cosh2⁡x=sinh2⁡x+1;不可使用 ch⁡𝑥ch⁡x.n10.16tanh⁡𝑥tanh⁡x𝑥x 的双曲正切tanh⁡𝑥 =sinh⁡𝑥/cosh⁡𝑥tanh⁡x=sinh⁡x/cosh⁡x;不可使用 th⁡𝑥th⁡x.n10.17coth⁡𝑥coth⁡x𝑥x 的双曲余切coth⁡𝑥 =1/tanh⁡𝑥coth⁡x=1/tanh⁡x.n10.18sech⁡𝑥sech⁡x𝑥x 的双曲正割sech⁡𝑥 =1/cosh⁡𝑥sech⁡x=1/cosh⁡x.n10.19csch⁡𝑥csch⁡x𝑥x 的双曲余割csch⁡𝑥 =1/sinh⁡𝑥csch⁡x=1/sinh⁡x;不可使用 cosech⁡𝑥cosech⁡x.n10.20arsinh⁡𝑥arsinh⁡x𝑥x 的反双曲正弦𝑦 =arsinh⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =sinh⁡𝑦y=arsinh⁡x⟺x=sinh⁡y;不可使用 arsh⁡𝑥arsh⁡x.n10.21arcosh⁡𝑥arcosh⁡x𝑥x 的反双曲余弦𝑦 =arcosh⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =cosh⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arcosh⁡x⟺x=cosh⁡y(y≥0);不可使用 arch⁡𝑥arch⁡x.n10.22artanh⁡𝑥artanh⁡x𝑥x 的反双曲正切𝑦 =artanh⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =tanh⁡𝑦y=artanh⁡x⟺x=tanh⁡y;不可使用 arth⁡𝑥arth⁡x.n10.23arcoth⁡𝑥arcoth⁡x𝑥x 的反双曲余切𝑦 =arcoth⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =coth⁡𝑦 (𝑦 ≠0)y=arcoth⁡x⟺x=coth⁡y(y≠0).n10.24arsech⁡𝑥arsech⁡x𝑥x 的反双曲正割𝑦 =arsech⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =sech⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arsech⁡x⟺x=sech⁡y(y≥0).n10.25arcsch⁡𝑥arcsch⁡x𝑥x 的反双曲余割𝑦 =arcsch⁡𝑥 ⟺ 𝑥 =csch⁡𝑦 (𝑦 ≥0)y=arcsch⁡x⟺x=csch⁡y(y≥0);不可使用 arcosech⁡𝑥arcosech⁡x.复数编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n11.1ii虚数单位i2 = −1i2=−1;不可使用 𝑖i 或 in11.2Re⁡𝑧Re⁡z𝑧z 的实部参见 n11.3.n11.3Im⁡𝑧Im⁡z𝑧z 的虚部若 𝑧 =𝑥 +i𝑦 (𝑥,𝑦 ∈𝐑)z=x+iy(x,y∈R), 则 𝑥 =Re⁡𝑧x=Re⁡z，𝑦 =Im⁡𝑧y=Im⁡z.n11.4|𝑧||z|𝑧z 的模|𝑧| =√(Re⁡𝑧)2+(Im⁡𝑧)2|z|=(Re⁡z)2+(Im⁡z)2.n11.5arg⁡𝑧arg⁡z𝑧z 的辐角若 𝑧 =𝑟ei𝜑z=reiφ, 其中 𝑟 =|𝑧|r=|z| 且 −𝜋 <𝜑 ≤𝜋−π<φ≤π, 则 𝜑 =arg⁡𝑧φ=arg⁡z.Re⁡𝑧 =𝑟cos⁡𝜑Re⁡z=rcos⁡φ，Im⁡𝑧 =𝑟sin⁡𝜑Im⁡z=rsin⁡φ.n11.6¯𝑧z¯;𝑧∗z∗𝑧z 的复共轭¯𝑧 =Re⁡𝑧 −iIm⁡𝑧z¯=Re⁡z−iIm⁡z.n11.7sgn⁡𝑧sgn⁡z𝑧z 的单位模函数sgn⁡𝑧 =𝑧/|𝑧| =exp⁡(iarg⁡𝑧) (𝑧 ≠0)sgn⁡z=z/|z|=exp⁡(iarg⁡z)(z≠0);sgn⁡0 =0sgn⁡0=0;参见 n6.13.矩阵编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n12.1𝐴A;参见2𝑚 ×𝑛m×n 型矩阵 𝐴A𝑎𝑖𝑗 =(𝐴)𝑖𝑗aij=(A)ij;也可使用 𝐴 =(𝑎𝑖𝑗)A=(aij). 其中 𝑚m 为行数，𝑛n 为列数𝑚 =𝑛m=n 时称为方阵可用方括号替代圆括号。n12.2𝐴 +𝐵A+B矩阵 𝐴A 和 𝐵B 的和(𝐴 +𝐵)𝑖𝑗 =(𝐴)𝑖𝑗 +(𝐵)𝑖𝑗(A+B)ij=(A)ij+(B)ij;矩阵 𝐴A 和 𝐵B 的行数和列数必须分别相同。n12.3𝑥𝐴xA标量 𝑥x 和矩阵 𝐴A 的乘积(𝑥𝐴)𝑖𝑗 =𝑥(𝐴)𝑖𝑗(xA)ij=x(A)ij.n12.4𝐴𝐵AB矩阵 𝐴A 和 𝐵B 的乘积(𝐴𝐵)𝑖𝑘 =∑𝑗(𝐴)𝑖𝑗(𝐵)𝑗𝑘(AB)ik=∑j(A)ij(B)jk;矩阵 𝐴A 的列数必须等于矩阵 𝐵B 的行数。n12.5𝐼I;𝐸E单位矩阵(𝐼)𝑖𝑘 =𝛿𝑖𝑘(I)ik=δik;𝛿𝑖𝑘δik 的定义参见 n14.9.n12.6𝐴−1A−1方阵 𝐴A 的逆𝐴𝐴−1 =𝐴−1𝐴 =𝐼 (det⁡𝐴 ≠0)AA−1=A−1A=I(det⁡A≠0).det⁡𝐴det⁡A 的定义参见 n12.10.n12.7𝐴TAT;𝐴′A′𝐴A 的转置矩阵(𝐴T)𝑖𝑘 =(𝐴)𝑘𝑖(AT)ik=(A)ki.n12.8――𝐴A―;𝐴∗A∗𝐴A 的复共轭矩阵(――𝐴)𝑖𝑘 =――――(𝐴)𝑖𝑘(A―)ik=(A)ik―.n12.9𝐴HAH;𝐴†A†𝐴A 的 Hermite 共轭矩阵𝐴H =(――𝐴)TAH=(A―)T.n12.10det⁡𝐴det⁡A;参见3方阵 𝐴A 的行列式也可使用 |𝐴||A|.n12.11rank⁡𝐴rank⁡A矩阵 𝐴A 的秩n12.12tr⁡𝐴tr⁡A方阵 𝐴A 的迹tr⁡𝐴 =∑𝑖(𝐴)𝑖𝑖tr⁡A=∑i(A)ii.n12.13‖𝐴‖‖A‖矩阵 𝐴A 的范数满足三角不等式：若 𝐴 +𝐵 =𝐶A+B=C, 则 ‖𝐴‖ +‖𝐵‖ ≥‖𝐶‖‖A‖+‖B‖≥‖C‖.坐标系本节考虑三维空间中的一些坐标系。点 OO 为坐标系的 原点。任意点 PP 均由从原点 OO 到点 PP 的 位置向量 确定。

编号坐标位置向量和微分坐标名备注n13.1𝑥x，𝑦y，𝑧z𝒓 =𝑥𝒆𝑥 +𝑦𝒆𝑦 +𝑧𝒆𝑧r=xex+yey+zez;d𝒓 =d𝑥 𝒆𝑥 +d𝑦 𝒆𝑦 +d𝑧 𝒆𝑧dr=dx ex+dy ey+dz ez笛卡尔坐标基向量 𝒆𝑥ex，𝒆𝑦ey，𝒆𝑧ez 构成右手正交系，见 图 1 和 图 4。基向量也可用 𝒆1e1，𝒆2e2，𝒆3e3 或 𝒊i，𝒋j，𝒌k 表示，坐标也可用 𝑥1x1，𝑥2x2，𝑥3x3 或 𝑖i，𝑗j，𝑘k 表示。n13.2𝜌ρ，𝜑φ，𝑧z𝒓 =𝜌 𝒆𝜌 +𝑧 𝒆𝑧r=ρ eρ+z ez;d𝒓 =d𝜌 𝒆𝜌 +𝜌 d𝜑 𝒆𝜑 +d𝑧 𝒆𝑧dr=dρ eρ+ρ dφ eφ+dz ez柱坐标𝒆𝜌(𝜑)eρ(φ)，𝒆𝜑(𝜑)eφ(φ)，𝒆𝑧ez 组成右手正交系，见 图 2。若 𝑧 =0z=0, 则 𝜌ρ 和 𝜑φ 是平面上的极坐标。n13.3𝑟r，𝜗ϑ，𝜑φ𝒓 =𝑟𝒆𝑟r=rer;d𝒓 =d𝑟 𝒆𝑟 +𝑟 d𝜗 𝒆𝜗 +𝑟 sin⁡𝜗 d𝜑 𝒆𝜑dr=dr er+r dϑ eϑ+r sin⁡ϑ dφ eφ球坐标𝒆𝑟(𝜗,𝜑)er(ϑ,φ)，𝒆𝜗(𝜗,𝜑)eϑ(ϑ,φ)，𝒆𝜑(𝜑)eφ(φ) 组成右手正交系，见 图 3。如果不使用 右手坐标系，而使用 左手坐标系，则应在之前明确强调，以免符号误用。

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

标量和向量本节中，基向量用 𝒆1e1，𝒆2e2，𝒆3e3 表示。本节中的许多概念都可以推广到 𝑛n 维空间。

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关。

对于基向量 𝒆1e1，𝒆2e2，𝒆3e3, 每个向量 𝒂a 都可以表示为 𝒂 =𝑎1𝒆1 +𝑎2𝒆2 +𝑎3𝒆3a=a1e1+a2e2+a3e3, 其中 𝑎1a1，𝑎2a2 和 𝑎3a3 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"，𝑎1𝒆1a1e1，𝑎2𝒆2a2e2 和 𝑎3𝒆3a3e3 称为向量相对于该组基向量的分向量。

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标。笛卡尔坐标用 𝑥x，𝑦y，𝑧z 或 𝑎1a1，𝑎2a2，𝑎3a3 或 𝑥1x1，𝑥2x2，𝑥3x3 表示。

本节所有下标 𝑖i，𝑗j，𝑘k 的范围均为 11 到 33.

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n14.1𝒂a;⃗𝑎a→向量 𝒂an14.2𝒂 +𝒃a+b向量 𝒂a 和 𝒃b 的和(𝒂 +𝒃)𝑖 =𝑎𝑖 +𝑏𝑖(a+b)i=ai+bi.n14.3𝑥𝒂xa标量 𝑥x 与向量 𝒂a 的乘积(𝑥𝒂)𝑖 =𝑥𝑎𝑖(xa)i=xai.n14.4|𝒂||a|向量 𝒂a 的大小，向量 𝒂a 的范数|𝒂| =√𝑎2𝑥+𝑎2𝑦+𝑎2𝑧|a|=ax2+ay2+az2;也可使用 ‖𝑎‖‖a‖.n14.5𝟎0;⃗00→零向量零向量的大小为 00.n14.6𝒆𝒂ea𝒂a 方向的单位向量𝒆𝒂 =𝒂/|𝒂| (𝒂 ≠𝟎)ea=a/|a|(a≠0).n14.7𝒆𝑥ex，𝒆𝑦ey，𝒆𝑧ez;𝒆1e1，𝒆2e2，𝒆3e3笛卡尔坐标轴方向的单位向量也可使用 𝒊i，𝒋j，𝒌k.n14.8𝑎𝑥ax，𝑎𝑦ay，𝑎𝑧az;𝑎𝑖ai向量 𝒂a 的笛卡尔分量𝒂 =𝑎𝑥𝒆𝑥 +𝑎𝑦𝒆𝑦 +𝑎𝑧𝒆𝑧a=axex+ayey+azez;如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 𝒂 =(𝑎𝑥,𝑎𝑦,𝑎𝑧)a=(ax,ay,az).𝑎𝑥 =𝒂 ⋅𝒆𝑥ax=a⋅ex，𝑎𝑦 =𝒂 ⋅𝒆𝑦ay=a⋅ey，𝑎𝑧 =𝒂 ⋅𝒆𝑧az=a⋅ez;𝒓 =𝑥𝒆𝑥 +𝑦𝒆𝑦 +𝑧𝒆𝑧r=xex+yey+zez 是坐标为 𝑥x，𝑦y，𝑧z 的位置向量。n14.9𝛿𝑖𝑘δikKronecker delta 符号𝛿𝑖𝑘 =[𝑖 =𝑘]δik=[i=k]，其中 [ ⋅][⋅] 的定义参见 n6.24，即：𝛿𝑖𝑘 =1 (𝑖 =𝑘)δik=1(i=k);𝛿𝑖𝑘 =0 (𝑖 ≠𝑘)δik=0(i≠k).n14.10𝜀𝑖𝑗𝑘εijkLevi-Civita 符号𝜀123 =𝜀231 =𝜀312 =1ε123=ε231=ε312=1;𝜀132 =𝜀321 =𝜀213 = −1ε132=ε321=ε213=−1;其余的 𝜀𝑖𝑗𝑘εijk 均为 00.n14.11𝒂 ⋅𝒃a⋅b向量 𝒂a 和 𝒃b 的标量积/内积𝒂 ⋅𝒃 =∑𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖a⋅b=∑iaibi.n14.12𝒂 ×𝒃a×b向量 𝒂a 和 𝒃b 的向量积/外积右手笛卡尔坐标系中，(𝒂 ×𝒃)𝑖 =∑𝑗∑𝑘𝜀𝑖𝑗𝑘𝑎𝑗𝑏𝑘(a×b)i=∑j∑kεijkajbk;𝜀𝑖𝑗𝑘εijk 的定义参见 n14.10.n14.13∇∇nabla 算子∇ =𝒆𝑥𝜕𝜕𝑥 +𝒆𝑦𝜕𝜕𝑦 +𝒆𝑧𝜕𝜕𝑧 =∑𝑖𝒆𝑖𝜕𝜕𝑥𝑖∇=ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z=∑iei∂∂xi.n14.14∇𝜑∇φ;𝐠𝐫𝐚𝐝⁡𝜑grad⁡φ𝜑φ 的梯度∇𝜑 =∑𝑖𝒆𝑖𝜕𝜑𝜕𝑥𝑖∇φ=∑iei∂φ∂xi;𝐠𝐫𝐚𝐝grad 应使用 \operatorname{\mathbf{grad}}.n14.15∇ ⋅𝒂∇⋅a;𝐝𝐢𝐯⁡𝒂div⁡a𝒂a 的散度∇ ⋅𝒂 =∑𝑖𝜕𝑎𝑖𝜕𝑥𝑖∇⋅a=∑i∂ai∂xi;𝐝𝐢𝐯div 应使用 \operatorname{\mathbf{div}}.n14.16∇ ×𝒂∇×a;𝐫𝐨𝐭⁡𝒂rot⁡a𝒂a 的旋度(∇ ×𝒂)𝑖 =∑𝑗∑𝑘𝜀𝑖𝑗𝑘𝜕𝑎𝑘𝜕𝑥𝑗(∇×a)i=∑j∑kεijk∂ak∂xj;𝐫𝐨𝐭rot 应使用 \operatorname{\mathbf{rot}}.不应使用 𝐜𝐮𝐫𝐥curl.𝜀𝑖𝑗𝑘εijk 的定义参见 n14.10.n14.17∇2∇2;ΔΔLaplace 算子∇2 =𝜕2𝜕𝑥2 +𝜕2𝜕𝑦2 +𝜕2𝜕𝑧2∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2.特殊函数本节中的 𝑧z，𝑤w 是复数，𝑘k，𝑛n 是自然数，且 𝑘 ≤𝑛k≤n。

编号符号，表达式意义，等同表述备注与示例n15.1𝛾γEuler–Mascheroni 常数𝛾 =lim𝑛→∞(𝑛∑𝑘=11𝑘−ln⁡𝑛) =0.577 215 6…γ=limn→∞(∑k=1n1k−ln⁡n)=0.577 215 6….n15.2Γ(𝑧)Γ(z)gamma 函数Γ(𝑧) =∞∫0𝑡𝑧−1e−𝑡d𝑡 (Re⁡𝑧 >0)Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt(Re⁡z>0);Γ(𝑛 +1) =𝑛!Γ(n+1)=n!.n15.3𝜁(𝑧)ζ(z)Riemann zeta 函数𝜁(𝑧) =∞∑𝑛=11𝑛𝑧 (Re⁡𝑧 >1)ζ(z)=∑n=1∞1nz(Re⁡z>1).n15.4B⁡(𝑧,𝑤)B⁡(z,w)beta 函数B⁡(𝑧,𝑤) =1∫0𝑡𝑧−1(1 −𝑡)𝑤−1d𝑡 (Re⁡𝑧 >0B⁡(z,w)=∫01tz−1(1−t)w−1dt(Re⁡z>0，Re⁡𝑤 >0)Re⁡w>0);B⁡(𝑧,𝑤) =Γ(𝑧)Γ(𝑤)Γ(𝑧+𝑤)B⁡(z,w)=Γ(z)Γ(w)Γ(z+w);1(𝑛+1)B⁡(𝑘+1,𝑛−𝑘+1) =(𝑛𝑘)1(n+1)B⁡(k+1,n−k+1)=(nk).𝜕(𝑓1,…,𝑓𝑚)𝜕(𝑥1,…,𝑥𝑛) =⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝𝜕𝑓1𝜕𝑥1⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛⋮⋱⋮𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥1⋯𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠∂(f1,…,fm)∂(x1,…,xn)=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn); 矩阵的定义参见 n12.1 ↩

⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑚1⋯𝑎𝑚𝑛⎞⎟ ⎟ ⎟⎠(a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn) ↩

∣𝑎11⋯𝑎1𝑛⋮⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑛∣|a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann| ↩

本页面最近更新：2025/10/3 22:40:19，更新历史发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！本页面贡献者：Tiphereth-A, untitledunrevised, c-forrest, Great-designer本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用